Robust optimization for network design
Optimisation robuste pour la conception de réseaux
Résumé
Given the dynamic nature of traffic, we investigate the robust network design problem where we have to determine the capacity to reserve on each link so thateach demand vector belonging to a polyhedral set can be routed. The objective is either to minimize congestion or a linear cost. When routing is assumed to be fractional and dynamic (i.e., dependent on the current traffic vector), we first prove that therobust network design problem with minimum congestion cannot be approximated within any constant factor, settling an open question by Chekuri (2007). Then, using the ETH conjecture, we get a Omega(frac{log n}{log log n}) lower bound for the approximability of this problem.We next focus on the variant in which the underlying graph is directed. We prove that an O(sqrt{k}) = O(n)-approximation can be obtained by solving the problem under static routing, where k is the number of commodities and n is the number of nodes. We show that a natural generalization of the problem cannot be approximated within a ratio of k^{frac{ c }{ log log k }} for some constant c (resp. 2^{log^{1- epsilon} k } for any epsilon >0) unless NP subseteq SUBEXP (resp. NP subseteq QP).Affine routing can be used to obtain better solutions also with polynomial-time algorithms. It consists in restricting the routing to depend on the demands in an affine way.We first show that a node-arc formulation is less conservative than an arc-path formulation. We also provide a natural cycle-based formulation that is shown to be equivalent to the node-arc formulation.To further reduce the solution's cost, several new formulations are proposed. They are based on the relaxation of flow conservation constraints.The obtained formulations have been further improved through aggregation. As might be expected, aggregationallows us to reduce the size of formulations. A more striking result is that aggregation reduces the solution's cost.We finally propose an intermediate strategy between static and dynamic routing that can be seen as a new variant of multi-static routing. We consider some faces of the uncertainty set whose union contains all non-dominated extreme points of the polytope. Then a static routing is considered for each of these faces.
Étant donnée la nature dynamique du trafic, nous étudions la variante du problème de dimensionnement robuste de réseaux qui consiste à déterminer la capacité à réserver sur chaque lien d'un réseau de telle sorte que chaque demande appartenant à un polytope donné puisse être routée. L'objectif est soit de minimiser la congestion soit un coût linéaire. Nous étudions tout d'abord l'approximabilité de la variante avec un routage fractionnaire et dynamique dans des graphes non dirigés. Nous prouvons tout d'abord que, sauf si P=NP le problème de minimisation de la congestion ne peut être approché en dessous d'aucun facteur constant répondant ainsi à une question ouverte de Chekuri (2007). Ensuite, en utilisant la conjecture ETH, nous prouverons une borne inférieure de Omega(log n / log log n ) sur l'approximabilité de ce problème. Nous portons ensuite notre attention sur la variante avec un graphe dirigé. Nous montrons qu'une solution avec un routage statique optimal donne une O(sqrt{k}) = O(n)-approximation du routage dynamique optimal, où k est le nombre de commodités et n le nombre de nœuds. Nous montrons ensuite qu'une généralisation naturelle du problème ne peut être approché en dessous d'un facteur de k^{frac{ c }{ log log k }} pour une certaine constante c (resp. 2^{log^{1- epsilon} k } pour tout epsilon > 0) sauf si NP subseteq SUBEXP (resp. NP subseteq QP).Nous étudions également plusieurs reformulations du problème de dimensionnement robuste de réseaux permettant d'améliorer la méthode de routage affine. Nous montrons tout d'abord que la formulation par nœud-arc peut être moins restrictive que la formulation par arc-chemin. Nous fournissons également une formulation naturelle équivalente a la formulation par nœud-arc. Nous étudions ensuite plusieurs formulations basées sur des relaxations des contraintes de conservation de flot. Ensuite, nous étudions des formulations basées sur des agrégations de commodité par source ou par destination. Enfin nous proposons une stratégie intermédiaire entre l'approche statique et l'approche dynamique pour s'approcher encore plus du dynamique tout en contrôlant la complexité. Il s'agit d'une approche qu'on pourrait qualifier de multistatique. L'idée est de choisir un ensemble de faces du polytope représentant l'ensemble d'incertitude de telle manière que l'union des ces faces contienne tous les points extrêmes non-dominés de cet ensemble. Un routage statique est considéré pour chacune de ces faces.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
|---|